triple product of vectors

이 글에서는 triple product of vectors가 왜 measuring the volume of the parallelepiped(평행육면체)를 의미하는 지 분석한다. 먼저, triple product는 두 개의 vectors를 cross product한 후 나머지 한 개의 vector와 그것을 dot product한다. 수식으로는 다음과 같이 표현된다.

triple product

그런데 이게 기하학적으로 보면 다음과 같이 표현할 수 있다.

measuring the volume of the parallelepiped

기하학적으로 triple product가 어떻게 이렇게 되는 지 이해하기 위해서는, cross product를 먼저 볼 필요가 있다. cross product는 마름모의 넓이 곱하기 normal vector라고 할 수 있다.

cross product

마름모의 넓이

cross product 수식에서 n전까지는 base라고 표현된 마름모의 넓이를 의미하고, 나머지 부분인 n은 다음과 같다:  n is a unit vector perpendicular to the plane containing a and b in the direction given by the right-hand rule (illustrated).

이 n이 중요한데, 마름모의 넓이 부분은 scalar이므로 triple product에서 vector a와 dot product가 되는 것은 결국 vector n이다. 그런데 dot product의 정의를 보면:

dot product

위와 같으므로, n (dot product) a는 1곱하기 h가 된다. 1은 n의 magnitude이고, h는 a의 maginitude 곱하기 cos alpha이다. 왜 각도를 alpha를 쓰는 지는 다음의 그림을 보면 된다. h와 n은 평행(base에 둘 다 수직)이기 때문이다.

n과 h는 수직

따라서 triple product는 세 vectors로 이루어지는  parallelepiped의 volume을 계산한다.

모든 출처는 위키피디아이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

Dot product - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product

Triple product - Wikipedia

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Geometric_meaning